Pumpenaffinitätsgesetze: Formeln für Förderstrom, Förderhöhe und Leistung mit VFD-Rechenbeispielen

Die Pumpenaffinitätsgesetze sind drei Verhältnisformeln, mit denen sich vorhersagen lässt, wie sich Förderstrom, Förderhöhe und Leistung einer Strömungspumpe ändern, wenn Drehzahl oder Laufraddurchmesser angepasst werden – dieselbe Physik steckt auch hinter der Kreiselwasserpumpen-Baureihe von BBP. Die Kurzübersicht unten enthält die Formeln; die Rechenbeispiele weiter unten zeigen die Berechnung anhand realer Betriebspunkte.

Was sind Pumpenaffinitätsgesetze?

Die Pumpenaffinitätsgesetze sind drei Verhältnisformeln, mit denen sich vorhersagen lässt, wie sich Förderstrom, Förderhöhe und Leistung einer Strömungspumpe ändern, wenn Drehzahl oder Laufraddurchmesser angepasst werden: Der Förderstrom steigt oder sinkt proportional, die Förderhöhe entsprechend dem Quadrat und die Leistung entsprechend der dritten Potenz des Änderungsverhältnisses. Sie gelten nur für Kreisel-, Mischstrom- und Axialpumpen, nicht für Verdrängerpumpen.

Diese Verhältnisse gelten für Strömungspumpen im Anwendungsbereich von ANSI/HI 14,3-2024 (Strömungspumpen: Auslegung und Anwendung). Dabei wird angenommen, dass der Pumpenwirkungsgrad während der Änderung annähernd konstant bleibt. Verdrängerpumpen fördern unabhängig vom Druck pro Umdrehung ein festes Flüssigkeitsvolumen. Ihr Förderstrom, ihre Förderhöhe und ihre Leistung folgen daher nicht dieser Beziehung mit zweiter und dritter Potenz – die Affinitätsgesetze gelten für Verdrängerpumpen schlicht nicht.

Die beiden häufigsten Anwendungen der Pumpenaffinitätsgesetze sind die Auslegung eines Frequenzumrichter-Nachrüstsatzes (VFD) und das Abdrehen eines überdimensionierten Laufrads. Im ersten Fall ist die Drehzahl die veränderliche Größe, im zweiten der Durchmesser. In beiden Fällen berechnen Ingenieure mit den Affinitätsgesetzen den neuen Förderstrom, die neue Förderhöhe und die neue Leistung, bevor sie sich für eine Nachrüstung entscheiden. Beide Fälle beruhen auf demselben Grundprinzip: Ein Ventilator, der dieselbe Aufgabe mit Luft erfüllt, folgt einer identischen Exponentenstruktur. Darauf gehen wir später in diesem Leitfaden ein. Welche Lösung für eine bestimmte Anwendung geeignet ist, hängt meist von den Nachrüstungskosten und dem verfügbaren Anpassungsbereich ab. Die Rechenbeispiele in diesem Leitfaden veranschaulichen diese Entscheidung.

„Bei Kreiselpumpenanwendungen ohne statische Förderhöhe ändert sich der Leistungsbedarf des Systems mit der dritten Potenz der Pumpendrehzahl. Schon kleine Verringerungen von Drehzahl oder Förderstrom können den Energieverbrauch deutlich senken. Eine Verringerung der Drehzahl (des Förderstroms) um 20 % kann den Leistungsbedarf beispielsweise um etwa 50 % senken.“

— U.S. Department of Energy, Merkblatt Nr. 11 zu Pumpensystemen

Das ist die gesamte wirtschaftliche Begründung für Pumpen mit variabler Drehzahl in einem einzigen Satz – er steht am Anfang eines staatlichen Leitfadens zur Energieeffizienz. Genau diesen Zusammenhang veranschaulichen die Rechenbeispiele mit realen Werten in diesem Artikel: mit konkreten Gallonen, Fuß und Pferdestärken statt einer glatten Prozentangabe. Der Leitfaden führt dieselbe Veranschaulichung weiter und rechnet die Affinitätsgesetze anhand tatsächlicher Betriebspunkte durch, statt nur die allgemeine Faustregel zu nennen.

Die 3 Formeln für Drehzahländerungen: Förderstrom, Förderhöhe und Leistung in Abhängigkeit von der Drehzahl

Skalierungsbeziehungen einer Kreiselpumpe bei konstantem Laufraddurchmesser, wie vom DOE veröffentlicht: Der Förderstrom ist direkt proportional zur Drehzahl (N); die Förderhöhe ist proportional zum Quadrat der Drehzahl; die Leistung ist proportional zur dritten Potenz der Drehzahl. Anhand dieser 3 Beziehungen kann ein Ingenieur Förderstrom, Förderhöhe und Leistung bei jeder neuen Drehzahl ausgehend von einem einzigen bekannten Betriebspunkt vorhersagen, ohne die Pumpe bei dieser Drehzahl physisch zu testen.

Was sind die 3 Affinitätsgesetze?

Die 3 Affinitätsgesetze sind das Förderstromgesetz (Q₂/Q₁=N₂/N₁), das Förderhöhengesetz (H₂/H₁=(N₂/N₁)²) und das Leistungsgesetz (P₂/P₁=(N₂/N₁)³). Ihre Bezeichnungen beziehen sich auf den jeweiligen Exponenten: linear, quadratisch und kubisch. Diese Exponenten sind keine willkürlichen Konventionen, sondern ergeben sich direkt aus der Strömungsmechanik eines rotierenden Laufrads.

Der Förderstrom durch ein Kreiselpumpenlaufrad hängt von der Tangentialgeschwindigkeit der Flüssigkeit an der Laufradspitze ab, die proportional zur Drehzahl der Laufradwelle ist. Die Förderhöhe folgt dem Quadrat der Geschwindigkeit, da sich die Rotationsenergie des Laufrads über die Bernoulli-Gleichung in Druckhöhe umwandelt. Eine Verdopplung der Umfangsgeschwindigkeit ergibt somit etwa die vierfache Förderhöhe. Da die Leistung das Produkt aus Förderstrom und Förderhöhe ist, ergibt sich die dritte Potenz. Deshalb spart eine verringerte Pumpendrehzahl so viel Energie: Wird die Drehzahl auf vier Fünftel gesenkt (eine Reduzierung um 20 %), sinkt der Förderstrom lediglich um 20 %. Bevor die Leistung berechnet wird, kommt zur Verringerung des Förderstroms noch der Rückgang der Förderhöhe hinzu. So sinkt die Leistungsaufnahme annähernd um die Hälfte und nicht nur um 20 %.

Diese Gruppe von Exponenten gilt für jede Strömungspumpe im Anwendungsbereich von ANSI/HI 14,3-2024, sofern der Laufraddurchmesser nicht geändert wird (das ist das nächste Thema).

Rechenbeispiel: Laufrad abdrehen

Das Abdrehen – also die spanende Verringerung des Außendurchmessers eines überdimensionierten Laufrads – kann kostengünstiger sein als die Nachrüstung eines VFD. Anders als bei einem Regelventil mit seinen Drosselverlusten werden die Verluste dabei vollständig beseitigt. Dieses Rechenbeispiel stammt aus einem veröffentlichten technischen Beispiel des Hydraulic Institute und ist kein theoretischer Fall.

Eine doppelsaugende Kreiselpumpe mit einem 14-Zoll-Laufrad wird über ein Drosselventil auf einen Förderstrom von 3.000 Gallonen pro Minute (gpm) Prozesskühlwasser eingestellt. Sie läuft 8.000 Stunden pro Jahr bei einer gedrosselten Förderhöhe von 165 Fuß und einem Pumpenwirkungsgrad von 80 %; die Leistungsaufnahme beträgt 156 hp. Wird der Druckverlust des Drosselventils beseitigt, zeigt die Anlagenkennlinie, dass derselbe Förderstrom von 3.000 gpm bereits bei einer Förderhöhe von 147 Fuß erreicht wird – eine Verringerung der Förderhöhe um 5,8 %. Bei konstantem Förderstrom lässt sich das Leistungsverhältnis nach dem Durchmesser auflösen:

Die Durchmesseränderung durch das Abdrehen beträgt nur 3,6 % (von 14 in auf 13.5 in) und liegt damit deutlich innerhalb der im Abschnitt zu den Randbedingungen weiter unten genannten Grenze für das Abdrehen gemäß Affinitätsregel. Genau deshalb lässt sich die Berechnung des Hydraulic Institute in diesem Fall problemlos anwenden.

Rechenbeispiel: Drehzahländerung mit VFD und Einsparungen nach dem kubischen Gesetz

In einem von Pumps & Systems veröffentlichten Rechenbeispiel (Mark Berube, AutomationDirect.com) fördert eine dreiphasige Pumpe mit 15 hp bei konstanter Drehzahl von 1.750 rpm 200 gpm bei einer Förderhöhe von 120 Fuß und nimmt dabei 10 hp auf. Ein Drosselventil begrenzt den Förderstrom normalerweise auf 100 gpm, also 50 % der Kapazität. Das gilt für 90 % der Betriebsstunden der Pumpe und ist ein typischer Fall einer Überdimensionierung.

Wird das Drosselventil durch einen VFD ersetzt und die Drehzahl auf den Zielwert von 50 % des Förderstroms gesenkt, greifen alle 3 Affinitätsverhältnisse gleichzeitig: Der Förderstrom sinkt linear auf 50 %, die Förderhöhe auf 25 % (0.5²) und der Leistungsbedarf auf 12,5 % (0.5³) des Werts bei voller Drehzahl und diesem reduzierten Betriebspunkt. Bei 4.160 Betriebsstunden pro Jahr und $0.12/kWh sinkt der jährliche Energieverbrauch – bei 90 % der Stunden mit reduzierter Drehzahl und 10 % weiterhin mit vollem Förderstrom – von 21 Megawattstunden (gedrosselt) auf 8 Megawattstunden (mit VFD geregelt). Das entspricht einer Einsparung von $1.589 bzw. 62,4 % der ursprünglichen Energiekosten. Die $1.589 betreffen ausschließlich die Energiekosten. Kosten für den Antrieb, die Installation, die Steuerung und die Inbetriebnahme erhöhen die tatsächlichen Projektkosten. Die Amortisationszeit hängt vom gesamten installierten System ab und nicht allein vom Preis des Antriebs laut Typenschild. Unser Leitfaden zur Berechnung des ROI von Energieeinsparungen durch VFD-Pumpen erläutert die vollständige Berechnung von Kosten und Amortisation.

Über verschiedene Drehzahlreduzierungen hinweg ergibt sich aus demselben Zusammenhang nach dem kubischen Gesetz der unten gezeigte Multiplikator für Einsparungen. Die Berechnung gilt somit sowohl für ein Nachrüstziel mit 10 % Reduzierung als auch für eine Drehzahlabsenkung um 50 %.

Beachten Sie, wie schnell der Abstand wächst: Eine Verringerung der Drehzahl um 20 % senkt den Förderstrom nur um ein Fünftel, aber die Energiekosten um etwa die Hälfte. Bei 50 % erreicht die Leistungsreduzierung (87,5 %) bereits fast die gesamte Belastung. Dieser zunehmende Abstand zwischen der Verringerung des Förderstroms und der Leistungsreduzierung ist das zentrale wirtschaftliche Argument für einen VFD gegenüber einem Drosselventil. Er erklärt auch, warum schon eine leichte Überdimensionierung der Pumpe unverhältnismäßig viel Energie verschwendet. Wer die Anschaffungskosten des VFD gegen diese Kennlinie abwägt, kann die vollständige Amortisationsrechnung in unserem Leitfaden zur Berechnung des ROI von Energieeinsparungen durch VFD-Pumpen nachvollziehen.

Kombiniertes Rechenbeispiel: Drehzahl- und Durchmesseränderungen zusammenführen

Bei realen Nachrüstungen werden manchmal beide Größen zugleich geändert: Das Laufrad wird teilweise abgedreht und die Drehzahl zugleich über einen VFD reduziert. Es folgt eine Reihe kombinierter Rechenbeispiele mit Drehzahl- und Durchmesseränderungen. Dabei werden zwei Effekte nacheinander kombiniert, aber nur unter einer bestimmten Voraussetzung: Jede einzelne Änderung muss innerhalb ihres eigenen begrenzten Gültigkeitsbereichs bleiben (für das Abdrehen gelten dieselben Richtlinien des Hydraulic Institute wie im vorigen Beispiel), und der Pumpenwirkungsgrad muss für beide Schritte als annähernd konstant angesetzt werden. Werden zwei große Änderungen unabhängiger Größen miteinander multipliziert, summieren sich ihre jeweiligen Schätzfehler. Die Methode eignet sich daher als Planungsschätzung und ersetzt keine kombinierte Kennlinie des Herstellers.

Eine Pumpe läuft mit 1.800 rpm und einem 10-Zoll-Laufrad. Sie fördert 500 gpm bei einer Förderhöhe von 200 Fuß und nimmt 35 hp auf. Zuerst wird die Drehzahl bei konstantem Durchmesser um 15 % auf 1.530 rpm gesenkt:

Anschließend wird das Laufrad bei der neuen, reduzierten Drehzahl um 4 % abgedreht. Das liegt innerhalb der Grenze von 5 % gemäß Affinitätsregel; der Durchmesser wird von 10 in auf 9.6 in verringert:

Zusammen führen diese beiden Änderungen die Pumpe von 500 gpm/200 ft/35 hp auf 408 gpm/133 ft/19.0 hp. Die Leistung sinkt um 45,7 %. Dafür sorgen zwei vorsichtige, jeweils eigenständig begrenzte Anpassungen statt einer aggressiven Änderung, die für sich genommen entweder den zulässigen Drehzahländerungsbereich oder die Grenze für das Abdrehen überschreiten würde. Die Reihenfolge ist bewusst gewählt: Wer denselben Betriebspunkt stattdessen mit einem einzigen Abdrehen des Laufrads um mehr als 20 % erreichen wollte, läge weit außerhalb des Bereichs, für den die Formeln in diesem Artikel geprüft wurden.

Wie die Affinitätsgesetze die Pumpenkennlinie und den Betriebspunkt verschieben

Der Betriebspunkt einer Pumpe liegt dort, wo sich ihre Kennlinie und die Anlagenkennlinie schneiden. Die Anlagenkennlinie beschreibt, welche Förderhöhe Rohrleitung und Prozess bei jedem Förderstrom erfordern. Die Affinitätsgesetze verschieben die gesamte Pumpenkennlinie auf eine neue Kennlinie, die sich aus einer anderen Drehzahl oder einem abgedrehten Laufrad ergibt. Die Anlagenkennlinie bleibt jedoch unverändert. Der neue Betriebspunkt liegt dort, wo die verschobene Kennlinie sie schneidet.

Die Verschiebung erfolgt dynamisch als Reaktion auf Änderungen des Förderstroms, der Drehzahl oder des Durchmessers: Jeder Punkt der ursprünglichen Kennlinie wird im selben Verhältnis skaliert und ergibt so die neue Kennlinie. Entlang dieser Kennlinie steigt oder fällt die Förderhöhe, wenn der Förderstrom zunimmt oder abnimmt.

Das ist vor allem für den Bestpunkt (BEP) und allgemein für die Pumpenleistung wichtig. Da die Wirkungsgradlinien einer Pumpenkennlinie bei einer Drehzahlanpassung nur annähernd, aber nicht vollständig erhalten bleiben, kann eine Pumpe deutlich außerhalb ihres Wirkungsgradbereichs laufen, wenn sie weit unterhalb des angegebenen Drehzahlbereichs betrieben oder stark abgedreht wird – selbst wenn Förderstrom und Förderhöhe rechnerisch stimmen. Wer einen neuen Betriebspunkt von Grund auf auslegt, kann mit unserem Betriebspunkt-Auswahltool für Kreiselpumpen reale Werte eingeben und sehen, wo eine bestimmte Kombination aus Förderstrom und Förderhöhe tatsächlich liegt.

Kurz gesagt: Die Formeln der Affinitätsgesetze erfassen die Bewegung der Pumpenkennlinie infolge von Änderungen. Nur eine echte Anlagenkennlinie – aus statischer Förderhöhe, Reibungsverlusten und etwaigem Druckabfall am Regelventil – kann genau zeigen, wohin sich der Betriebspunkt verschiebt und wie sich der Druck bei steigendem oder fallendem Förderstrom ändert.

Wann die Affinitätsgesetze an ihre Grenzen stoßen: Die 5 %-Grenze für das Abdrehen nach Affinitätsregel

Die Affinitätsgesetze liefern lediglich Näherungswerte. Jede maßgebliche Referenz, die sie aufführt, warnt auch davor, sie außerhalb der Grenzen anzuwenden, innerhalb derer das Ergebnis hinreichend zuverlässig ist. Werden diese Grenzen überschritten, kann es zu Problemen und Rückfragen kommen – selbst wenn die Berechnung völlig „korrekt“ ist.

Zwei dieser Tabellenzeilen stammen aus demselben Dokument des Hydraulic Institute, aus dem auch das Beispiel zum Abdrehen des Laufrads weiter oben stammt: Die Berechnung nach Affinitätsregel ist nur bis zu einer Durchmesserreduzierung von 5 % zugelassen; außerdem gilt eine feste Untergrenze von 75 % des maximalen Durchmessers. Diese Grenze unterscheidet sich von der naheliegenden Annahme vieler Ingenieure, man könne das Laufrad beliebig weit abdrehen, bis es zur Anlagenkennlinie passt. Das Dokument weist auch ausdrücklich darauf hin, dass sich der NPSHR-Wert „durch Abdrehen ändern kann“ und deshalb aus genauen Herstellerdaten stammen muss, statt aus den Verhältnisformeln abgeleitet zu werden. Ein US-Patent (US7945411B2) zu einem Verfahren zur sensorlosen Schätzung des Pumpenförderstroms führt aus der Sicht der Regelungstechnik einen ähnlichen Punkt an: Der Koeffizient zur Leistungsschätzung nach den Affinitätsgesetzen „führt häufig je nach Betriebsdrehzahl, Größe und spezifischer Drehzahl der Pumpe zu einer Über- oder Unterschätzung der Leistung“. Genau deshalb wurde das Patent entwickelt: um diese Abweichung zu korrigieren, statt sich auf das reine Verhältnis zu verlassen.

Regel zur Mindestdrehzahl: Eine mit VFD betriebene Pumpe sollte nicht dauerhaft mit so niedriger Drehzahl laufen, dass der Förderstrom weit unter den Bereich ihres Bestpunkts sinkt. Denn bei sinkendem Förderstrom steigen interne Rezirkulation, radiale Wellenbelastung und das Risiko örtlich begrenzter Kavitation. Nichts davon weisen die Formeln der Affinitätsgesetze aus, da sie nur Förderstrom, Förderhöhe und Leistung erfassen, nicht aber die Strömungsverhältnisse im Inneren. Der Mindestförderstrom für einen dauerhaft stabilen Betrieb ist pumpenspezifisch und gehört auf die Herstellerkennlinie; er sollte nicht anhand einer prozentualen Faustregel geschätzt werden.

Ein Vorbehalt zu technischen Referenzen sollte erwähnt werden und bestätigt sich bei näherer Betrachtung: In einigen älteren Texten wird zwischen „Affinitätsregeln“ (den oben gezeigten Formeln für Gehäuse und Abdrehen, bei denen der Laufraddurchmesser bei konstantem Gehäuse geändert wird) und einer anderen Gruppe von „Ähnlichkeitsgesetzen“ unterschieden. Für Letztere gelten andere Exponenten (Q~D³, H~D², P~D⁵); sie sind nur anwendbar, wenn vollständig unterschiedliche, geometrisch ähnliche Pumpenkonstruktionen mit stark abweichenden Durchmessern verglichen werden. Diese zweite Gruppe ist für die in diesem Artikel behandelten Fälle mit nur einer Pumpe und abgedrehtem Laufrad nicht relevant. Sie wird nur erwähnt, damit die abweichenden Zahlen für das Abdrehen in älteren Nachschlagewerken nicht zu Verwirrung führen.

Ventilatorgesetze und Pumpenaffinitätsgesetze

Ob Pumpe oder Ventilator: Beide folgen diesen Gesetzen, denn die grundlegende Strömungsphysik rotodynamischer Maschinen – das Laufrad beziehungsweise die Schaufeln übertragen Energie auf das Fluid – ist bei Wasser und Luft gleich: Der Förderstrom steigt proportional zur Drehzahl, der Druck mit ihrem Quadrat und die Leistung mit ihrer dritten Potenz. Was HLK-Fachleute als „Ventilatorgesetze“ bezeichnen, hat dieselbe Exponentenstruktur wie die oben dargestellten Ähnlichkeitsgesetze der Pumpe.

Sie lassen sich jedoch nicht ohne Weiteres gegeneinander austauschen. Ventilatoren bewegen ein kompressibles Fluid wie Luft statt einer weitgehend inkompressiblen Flüssigkeit wie Wasser. Deshalb müssen neben der Gasdichte weitere Ähnlichkeitsbedingungen berücksichtigt werden, die sich aus dem kompressiblen Arbeitsfluid ergeben und bei der Förderung von Flüssigkeiten nicht auftreten. Wenn ein Ingenieur den Antrieb mit variabler Drehzahl (ASD) für eine Lüftungsanlage anhand der Ventilatorgesetze auslegt, arbeitet er zwar mit derselben Exponentenstruktur wie bei den hier behandelten Pumpenformeln. Dabei ist jedoch Sorgfalt geboten: Die Empfehlungen sollten sich auf bewährte Verfahren für Ventilatoren stützen, etwa auf die von AMCA veröffentlichten Normen zu Ventilatorgesetzen, und die Auswirkungen der Gaseigenschaften berücksichtigen.

Warum die Drehzahlregelung heute wichtiger ist

Die zunehmende Verbreitung von VFD macht die Drehzahlregelung vom optionalen Nachrüstsatz zur Standardspezifikation neuer Kreiselpumpenpakete. Ingenieure können so die Pumpenleistung bei steigender oder sinkender Nachfrage fein abstimmen, statt ein Aggregat mit fester Drehzahl zu drosseln. Die zugrunde liegenden Berechnungen nach den Ähnlichkeitsgesetzen sind heute wichtig, weil Ingenieure damit Einsparungsangaben von Anbietern plausibilisieren können, statt sie ungeprüft zu übernehmen.

Energieeffizienzprogramme der Industrie und Förderprogramme von Versorgungsunternehmen setzen Pumpen mit variabler Drehzahl immer häufiger voraus, statt sie als Aufrüstung zu behandeln. Die Kosteneffizienz-Schwellenwerte des DOE – Pumpen über 15-30 hp, die mindestens 2 000 Stunden pro Jahr laufen – erfassen bereits einen großen Teil der installierten Industriepumpen.

Zur Einordnung: Der Markt für Frequenzumrichter soll von etwa $27,31 Milliarden im Jahr 2025 auf $45,60 Milliarden bis 2035 wachsen. Das entspricht einer durchschnittlichen jährlichen Wachstumsrate von 5,26 % (SNS Insider). Als Wachstumstreiber wird unter anderem die Nachfrage nach energieeffizienten Pumpen und HLK-Anlagen genannt. Diese Entwicklung stimmt in der Tendenz mit dem Anstieg des Interesses am Suchbegriff „variable speed motor“ überein, das laut der Keyword-Recherche für diesen Artikel nach einem monatlichen Tiefstand von 1.300 bis 1.900 Suchanfragen wieder zunahm. Für Betriebsingenieure bedeutet das in der Praxis: Bei neuen Pumpenspezifikationen wird eine Drehzahlregelung mit VFD zunehmend vorausgesetzt. Es lohnt sich daher, die Berechnungen nach den Affinitätsgesetzen so gut zu kennen, dass sich die Einsparprognose eines Anbieters plausibilisieren lässt, statt sie ungeprüft zu übernehmen.